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By Dr. phil. Peter Kall (auth.)

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Example text

N > N(f);;;' N2 (f) und k n ;;;. ;;; C - b < Sf kann flir beJiebige f > 0 offenbar nur erfiillt werden, wenn C - b = 0 ist. Mit a = b = C gilt also bn -+ a und cn -+ a. Wir zeigen nun, daB auch an -+ a. ;;; 1 a - Cn 1 + 1 Cn I';;; 1 a - Cn 1 + 1 Cn - bn 1 = 1 a - - an Cn 1 + 1 Cn 1 - a + a - bn 1 - a 1 + 1 a - bn 1 Wegen bn -+ a und C n -+ a existiert ein N(f) so, daB la - C n I < ~ und I a - b n I < ~ 3 "if n > N(f). Folgiich ist 1 a - an 1 < f "if n > N(f), womit an -+ a bewiesen ist. F. reeller Zahlen einen reellen Grenzwert besitzt, nennt man die V 0 II s tan dig k e i t der reellen Zahlen.

1000' ... , 1000000' ... , 1012' ... , 1020 ' ... ,und . Wlr sehen, da£ die Glieder nicht nur monoton fallen, sondern sich auch belie big nahe der unteren Schranke 0 nahern. , falls n ungerade n (_1)n, falls n gerade. Auch hier gibt es Glieder bn, die sich beliebig genau dem Wert 0 niihern, namlich diejenigen mit ungeraden Nummern. Hingegen haben die Glieder mit geraden Nummern vom Wert 0 stets den Abstand I (_1)n - 0 I = 1. Der Unterschied der beiden Foigen besteht also darin, da£ man jeden beliebigen (auch beliebig kleinen) positiven Abstand € > 0 von dem Wert 0 in der Foige {an }n;;'l mit a II e n Gliedern unterschreitet, die eine hinreichend gro~e Nummer haben, was fUr die Foige {bn}nEN nicht stimmt, sobald der Abstand € < 1 sein soll.

Es gibt verschiedene Arten von Vorschriften, nach denen die Glieder einer Foige zu bestimmen sind. Die wichtigsten seien hier an Beispielen eriautert: a) Die Glieder sind a priori einzeln flir jedes n;;;' k berechenbar. , was offenbar so zu verstehen ist, daJ1 lin = 0,33 ... 3 oder, gleichbedeutend damit, lin = n-mal +1 falls n gerade { ii)lin=' = (_I)n, -I, falls n ungerade was uns die Foige {+1, -1, +1, -1, + 1, -1, ... } Hefert; ... ) 111 1 fl'urn"", --- 1, lin =n womit die Folge {I, ~ , ~ , ~ , ~ , ...

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